《高等数学》教程   主讲人:石 建

《高等数学》课程教学大纲

(本科,师范类)

英文名称:Higher mathematics

课程类型:必修基础理论课

学时:198   学分:11

适用对象:本科相关各专业

先修课程:中学数学

一、课程的性质、目的和任务

       高等数学是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

       通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学;5、无穷级数(包括傅立叶级数)6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

       在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、总学时与学分

       本课程的安排二学期授课,总学时为90+108,学分为5+6

三、课程教学基本要求及基本内容

       说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

一)、函数、极限、连续

(一)函数

1. 理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像。

    2. 理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性,会判断所给函数的类别。

    3. 了解函数y=fx)与其反函数y=f--1x)之间的关系(定义域、值域、图象),会求单调函数的反函数。了解隐函数的概念。

    4. 理解和掌握函数的四则运算与复合运算,熟练掌握复合函数的复合过程。

    5. 掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

    6. 理解初等函数的概念。

    7. 会建立简单实际问题的函数关系式。

    8. 几个特殊函数。

    (二)极限

1. 理解极限的概念(对极限定义中“ε- N”“ε- δ”“ε- M”的描述不作要求),能根据极限概念分析函数的变化趋势,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限与左右极限的关系。会求函数在一点处的左极限与右极限,理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2. 了解极限的有关性质,掌握极限的性质及四则运算法则。

3. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系,理解无穷小与极限的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等阶)。会运用等价无穷小量代换求极限。

4. 掌握极限存在的两个准则,熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

5. 掌握求极限的常用方法。

(三)连续

1. 理解函数在一点连续与间断的概念,掌握判断简单函数(含分段函数)在一点的连续性,理解函数在一点连续与极限存在的关系。

2. 会求函数的间断点及确定其类型。

3. 掌握在闭区间上连续函数的性质,会运用介值定理与零点定理推证一些简单命题。

4. 理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限。

二)、一元函数微分学

(一)导数与微分

1. 理解导数的概念及其几何意义,理解可导性与连续性的关系,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,会用定义求函数在一点处的导数。

2. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3. 熟练掌握基本初等函数的导数基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法,

会求反函数的导数。

4. 掌握隐函数的求导法、指数求导法,对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法。会求隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

5. 理解左右导数的概念,会求分段函数的一阶、二阶导数。

6. 理解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数,一般函数的一阶、二阶导数。

7. 理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

8. 了解一阶微分的形式不变性,了解微分在近似计算中的应用。

(二)中值定理及导数的应用

1. 了解罗尔中值定理、理解拉格朗日中值定理及它们的几何意义,理解泰勒定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式和等式。

2. 了解柯西中值定理,熟练掌握洛必达法则求“0/0”“∞/ ∞”、“0×∞”“∞-∞”“1“00“∞0型未定式的极限方法。

3. 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式。

4. 理解函数极值的概念,掌握求函数的极值(必要性和两个充分条件)和最大(小)值的方法,并且会解简单的应用问题。

5. 会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。

6. 会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线和斜渐近线。

7. 会描绘简单函数的图形。

8. 了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径,会求两曲线的交角.

9. 了解求方程近似解的二分法和切线法

 

三)、一元函数积分学

(一)   不定积分

1. 理解原函数与不定积分概念及其关系,掌握不定积分性质,了解原函数存在定理。

2. 熟练掌握不定积分的基本公式。

3. 熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。

4. 熟练掌握不定积分的分部积分法。

5. 会求简单有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的不定积分。

(二)定积分

1. 理解定积分的概念与几何意义,了解可积的条件。

2. 掌握定积分的基本性质。

3. 理解变上限的定积分是变上限的函数,掌握对变上限定积分求导数的方法。

4. 掌握牛顿莱布尼茨公式。

5. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6. 理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法,了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。

7. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)

8. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等),掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

四)、向量代数与空间解析几何

     (一)向量代数

1. 理解空间直角坐标系,理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量、方向数,方向余弦、向量在坐标轴上的投影,以及用坐标表达式进行向量运算的方法

2. 掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法,了解向量的混合积。会运用它们解决一些基本问题。

3. 掌握二向量平行、垂直的条件。

    (二)平面与直线

1. 会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。

2. 会求点到平面的距离。

3. 了解直线的一般式方程,会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程

4. 会判定直线与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上),并利用它们解决有关问题。

    (三)简单的二次曲面

理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面(球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面)的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

五)、多元函数微分学

1. 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念(对计算不作要求)。会求二元函数的定义域,有界闭区域上连续函数的性质。

2. 理解多元函数偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件,会求全微分,了解全微分形式的不变性,了解全微分在近似计算中的应用。

3. 掌握多元函数的一、二阶偏导数计算方法。

4. 掌握多元复合函数偏导数的求法。

5. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数

7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。

8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9. 理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

六)、多元函数积分学

1. 理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理

2. 掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法,会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

    3. 会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等)。

七)、曲线积分与曲面积分

1. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2. 掌握计算两类曲线积分的方法。

3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数。

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。

5. 了解散度与旋度的概念,并会计算。

6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、曲面面积、弧长、质量、引力、功及流量等)。

八)、无穷级数

1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。   

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握exp(x)sin(x)cos(x)ln(1+x)(1+x)α的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会将定义在[——LL]上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在[0L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式。

九)、常微分方程

1. 理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念

2. 掌握可分离变量方程的解法。

3. 掌握一阶线性方程的解法,理解线性微分方程解的结构,了解常数变易法。

4. 会解齐次方程、伯努利(Bernoulli)方程和个微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程,了解用变量代换求解方程的思想。

5. 会解全微分方程,能观察出最简单的积分因子。

6. 会用降价法解(1型方程

7. 会用降价法解型方程。

8. 了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤。了解奇解的概念。

9. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。掌握常系数齐次线性方程的解法,会求自由项形如

的常系数非齐次线性方程的特解。

10. 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

11. 了解微分方程的幂级数解法,会解欧拉(Euler)方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

12. 了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数。

13. 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。

四、学时分配

序号

   

小计

理论课时

实验或习题课时

1

函数、极限、连续

14

8

22

2

一元函数微分学

20

12

32

3

一元函数积分学

20

12

32

4

向量代数与空间解几

10

6

16

5

多元函数微分学

12

8

20

6

多元函数积分学

12

8

20

7

曲线积分与曲面积分

10

8

18

8

无穷级数

14

6

20

9

常微分方程

12

6

18

124

74

198

五、教材与教学参考书

教材:

《高等数学》(第五版)上、下册,同济大学应用数学系主编,高等教育出版社。

参考书:

1.《微积分》上、下册,同济大学应用数学系编,高等教育出版社

2.《工科数学分析基础》上、下册,马知恩  王绵森主编,高等教育出版社

3.《高等数学》上、下册,清华大学盛祥耀等编,高等教育出版社

4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编,高等教育出版社

5.《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编,同济大学出版社


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